Dron 博客

三门问题和 JavaScript 仿真实验

三门问题

1990 年 9 月美国《广场杂志》的「请教玛丽琳」专栏,曾刊登如下逻辑题:

假设你在进行一个游戏节目。现给三扇门供你选择:一扇门后面是一辆轿车,另两扇门后面分别都是一头山羊。你的目的当然是要想得到比较值钱的轿车,但你却并不能看到门后面的真实情况。主持人先让你作第一次选择。在你选择了一扇门后,知道其余两扇门后面是什么的主持人,打开了另一扇门给你看,而且,当然,那里有一头山羊。现在主持人告诉你,你还有一次选择的机会。那么,请你考虑一下,你是坚持第一次的选择不变,还是改变第一次的选择,更有可能得到轿车?

这个问题即著名的 蒙提霍尔问题,也叫三门问题。

梳理一下它的流程如下:

  1. 玩家从三个门中选择一个门,记为 门a
  2. 主持人选择另一个门,记为 门b门b 里面是一头山羊,并且问玩家是否变更选择。
  3. 玩家如果变更选择,即选了 门a门b 以外的第三个门,记为 门c;如果不变更选择,玩家仍然选 门a

问题是:选 门a门c,哪个更大的概率得到轿车?

答案及解释

很早看到过这题,一直都觉得没有差别,选哪个门的概率都是 1/3,最近同事间又在讨论起这个话题,让我改变了主意。

正确的答案是:变更选择后,命中轿车的概率是 2/3,命中羊的概率是 1/3

原因是,主持人打开 门b 之后,剩下的两个门(门a门c),正好是一个后面是羊,另一个后面是轿车。也就是说,变更选择会导致:

玩家本来选到羊会变成选到轿车,而本来选到轿车变成选到羊。

三扇门其中有两扇门是羊,玩家做第一次选择时:

  • 命中羊的概率是 2/3
  • 命中轿车的概率是 1/3

变更选择之后变成:

  • 命中轿车的概率是 2/3(即第一次选到羊的概率)
  • 命中羊的概率是 1/3(即第一次选到轿车的概率)

JavaScript 实验

为了验证,我用 JS 写了个仿真程序,计算不变选择与变更选择的分别概率。

戳这里 直接测试,具体代码如下:

/**
* JS test for the monty hall problem
* @author dron (http://ucren.com)
*/


const random1 = length => Math.random() * length | 0;

const guess = function( reselect ){
const carInDoor = random1( 3 );
let playerSelects = random1( 3 );

if( reselect ){
let presenterSelects;

if( carInDoor === playerSelects ){
return false;
}else{
presenterSelects = carInDoor ^ playerSelects ^ 3;
playerSelects = playerSelects ^ presenterSelects ^ 3;
}
}

return carInDoor === playerSelects;
}

const hitRate = function( times, reselect ){
let count = 0;

for( let i = 0; i < times; i ++ ){
if( guess( reselect ) )
count ++;
}

return count / times;
}

const times = 10000;

console.log( '玩家不变更选择,命中轿车的概率是:', hitRate( times, false ) );
console.log( '玩家变更选择,命中轿车的概率是:', hitRate( times, true ) );